Alex o álex? se puede inscribir asi?

hola, voy a ser mami en 1 mes y tenemos claro que le pondremos alex, pero quiero hacerlo correctamente y escribirlo bien.no se si lo correcto seria registrarlo como alejandro, y llamarle alex,o,inscribirlo directamente como alex que es como le diremos porque alejandro es precioso pero largo.y tambien he visto que álex esta con acento, no se porque.gracias.