A ver si os ayudo:
El certificado, puede hacerlo cualquier médico, y es igual de válido, sea de la sanidad pública, de la privada, o incluso que no ejerza.
Tampoco tiene que ser pediatra, puede tener cualquier especialidad: el certificado es igualmente válido.
Otra cosa es que la lógica obliga a pensar que el certificado lo emita el médico que conoce al crío, es decir, su pediatra o su médico de familia.
En cuanto al exámen, si es su pediatra habitual, incluso no necesitará hacérselo, porque en su ficha constarán las vacunas, desarrollo físico, etc.
Si es un médico distinto, lo lógico sería que revisase el libro de salud, para ver si el calendario está actualizado, y viese que el niño está sano, o bien que padece alguna anomalía que, aunque no le impida ir al cole, sí haya que reseñar (por ejemplo, un soplo cardíaco que no haya estudiado: a lo mejor, no puede seguir todas las actividades de educación física), por lo tanto, tendría que ver cómo camina, auscultarlo, palparle la barriguita.. vamos, una exploración habitual.
El exámen puede obviarse si el médico (que responde de la salud del niño) conoce al niño; por ejemplo, si el crío tiene un abuelo médico, éste puede extender el certificado sin exploración, puesto que lo conoce, y eso, sin que sea pediatra (puede incluso tener una especialidad tan alejada como ginecólogo, o geriatra, el certificado seguiría teniendo validez)
No sé si os habré aclarado algo, me he liado un poco