Hola! Esta pregunta es intresante. Hay situaciones que pueden pillarnos desprevenidos. A mi me paso una cosa similar. En mi caso, no fue un parto pero tuve un accidente doméstico y mi novio tuvo que llevarme corriendo al hospital, al llegar no encontrábamos parking y mi pierna no dejaba de sangrar, fue un desastre! Finalmente, lo solucionamos buscando un parking a través de internet y por suerte encontramos uno que estaba cerca.
Así que desde mi experiencia personal, la solución estaría en en tu caso y así para evitar perder tiempo buscando aparcamiento.