Puedes combinar las dos cosas
En mi caso, tengo un seguro privado y llevé el embarazo en la clínica privada donde suelen hacerte un seguimiento más estricto. Al menos a la que voy yo me hacen más ecografías y análisis que en la SS. Pero para parir me fui al hospital público de mi ciudad porque está pared con pared con el hospital infantil y me daba seguridad saber que si mi hijo presentaba algún problema serio al nacer, tendría todos los medios técnicos y humanos a su disposición, algo que no tienen todas las clínicas privadas.
El caso es que no tienes obligación de parir por lo privado aunque lleves el embarazo con tu mutua. Pero todo depende de donde vivas y la fama que tenga el hospital público de tu ciudad.
Decidas lo que decidas, suerte y que sea una horita corta